120多年前，亨利·厄内斯特·杜德尼提出了著名的切割问题，将一个三角形转变为一个正方形，切割成尽可能少的几块。在一项新的研究中，研究人员终于证明了原始解决方案只涉及四块的最优性，采用了一种新的证明技术。这种技术首次表明，可以证明切割问题解决方案的最优性。
1907年，英国作家和数学家亨利·厄内斯特·杜德尼提出了一个难题：任何等边三角形能否被切割成尽可能少的几块，以便拼合成一个完美的正方形？四周后，他提出了一个优雅的解决方案，展示了只需要四块。通过将第一种形状切割成若干块并重新排列它们来转变一种形状为另一种形状的过程被称为切割。切割中的一个关键挑战是最小化将一种多边形形状转变为另一种所需的块数，这一问题几个世纪以来一直引起数学家、谜题创作者和解答者的关注。
杜德尼的难题仍然是最著名的切割问题之一。切割问题不仅引起数学家的兴趣，而且在纺织设计、工程和制造等领域具有实际应用。自从杜德尼在120多年前首次提出他的解决方案以来，仍然有一个悬而未决的问题：是否有更好的解决方案，可以将三角形切割成少于四块的形式？
在一项开创性的研究中，来自日本先进科学技术研究所（JAIST）的柳井龙平教授和镰田尚教授，以及麻省理工学院的埃里克·D·德梅因教授，终于回答了这个问题。他们证明了杜德尼的原始解决方案是最优的。“一个世纪后，我们终于通过证明等边三角形和正方形之间没有三块或更少多边形块的公共切割，解决了杜德尼的难题，”柳井教授说道。“我们使用了一种利用匹配图的新颖证明技术。”他们的研究于2024年12月5日发布在开放获取的arXiv存档上，并于2025年1月在第23届LA/EATCS-日本理论计算机科学研讨会上展示。
在他们的研究中，研究人员证明了一个关键定理：当禁止翻转切割块时，没有三块或更少的切割可在等边三角形和正方形之间进行。杜德尼的原始解决方案也没有涉及翻转。为此，研究人员首先通过分析问题的几何约束排除了两块切割的可能性。
接下来，他们系统地探索了三块切割的可能性。利用切割的基本属性，他们缩小了三块切割的可行切割方法组合。最后，他们使用匹配图的概念严格证明这些三块切割的组合没有可行性，从而证明正方形和等边三角形之间的切割不能通过三块或更少的方式实现。
匹配图在他们的证明中起到了核心作用。在此方法中，切割中使用的块的集合被还原为一个图结构，该结构捕捉了形成三角形和正方形的块的边和顶点之间的关系。研究人员发现这种方法不仅适用于杜德尼的难题，同时也可以普遍应用于其他切割问题。
“将形状切割和重新排列的问题据说自人类开始处理动物皮革制作衣物以来就存在。任何使用薄材料的情况也会遇到这样的难题，”柳井教授解释道。“我们的证明为理解和解决切割问题开辟了新视野。”
尽管许多切割问题通过找到一定数量的切割解决方案而得以解决，但至今从未有正式证明显示特定解决方案是最优的，且使用尽可能少的切割块。这项研究中开发的技术是第一个证明此类最优性的技术。“我们的技术展示了在现实世界的切割和重新排列问题中，最优切割是可能的。随着进一步的完善，它还可能导致对切割问题的全新解决方案的发现，”柳井教授总结道。
