一位数学家构建了一种代数解法，解决了曾被认为不可能解决的方程。
一位来自新南威尔士大学悉尼分校的数学家发现了一种新方法来解决代数最古老的挑战——解决高次多项式方程。
多项式是涉及一个变量提升到幂的方程，例如二次多项式：1 + 4x – 3x2 = 0。
这些方程是数学和科学的基础，它们有广泛的应用，比如帮助描述行星的运动或编写计算机程序。
然而，历来对“高阶”多项式方程的解决方法，即当x的幂为五或更高时，始终证明是难以捉摸的。
现在，新南威尔士大学荣誉教授诺曼·维尔德伯格（Norman Wildberger）揭示了一种新的方法，利用新颖的数列，在与计算机科学家迪恩·鲁比内（Dr. Dean Rubine）的一项最新出版物中进行了概述。
维尔德伯格教授说：“我们的解法重新打开了数学历史上曾经关闭的书。”
多项式问题
自公元前1800年以来，二次多项式的解决方案就存在，得益于巴比伦人的“完成平方方法”，这演变成了许多高中数学学生熟悉的二次公式。这种方法使用称为“根”的数字，后来在16世纪扩展到解决三次和四次多项式。
然后，1832年，法国数学家艾瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）展示了用于解决低阶多项式的数学对称性在五次及更高次的多项式中变得不可能。因此，他认为没有一般公式能够解决它们。
此后，已经开发了高次多项式的近似解，并广泛应用于各类应用程序，但维尔德伯格教授表示，这些并不属于纯代数。
新方法背后的根的拒绝
他表示，问题出在经典公式使用的三次或四次根上，即根。
根通常代表无理数，这些数字是无限不重复的小数，不能被写成简单的分数。例如，七的立方根，3√7 = 1.9129118……无限延续。
维尔德伯格教授表示，这意味着真正的答案永远无法完全计算，因为“你需要无限的工作量和比宇宙更大的硬盘。”
因此，当我们假设3√7在公式中“存在”时，我们假设这个无限、永无止境的小数在某种程度上是一个完整的对象。
这就是为什么维尔德伯格教授说，他“不相信无理数。”
他说，无理数依赖于一个不精确的无限概念，并导致数学中的逻辑问题。
维尔德伯格教授对根的拒绝启发了他对数学的重要贡献，如有理三角学和普遍超几何学。这两种方法依赖于数学函数，如平方、相加或相乘，而不是无理数、根或正弦和余弦等函数。
他的新方法解决多项式也避免了根和无理数，而是依赖于称为“幂级数”的特殊多项式扩展，幂级数可以有无穷多个项，幂为x。
维尔德伯格教授表示，通过截断幂级数，他们能够提取近似数值答案来检查方法的有效性。
他说：“我们测试的方程之一是华利斯在17世纪用来证明牛顿方法的著名立方方程。我们的解决方案效果良好。”
普遍解法的新几何学
然而，维尔德伯格教授表示，该方法的证明最终基于数学逻辑。
他的方法使用新颖的数列，这些数列代表复杂的几何关系。这些数列属于组合数学，一个处理元素集合中数字模式的数学分支。
最著名的组合数列称为卡塔兰数，描述了将一个多边形（即任何三条或更多边的形状）分解成三角形的方式数。
这些数字在实际应用中至关重要，包括计算机算法、数据结构设计和博弈论。在生物学中，它们甚至用于帮助计算RNA分子可能的折叠模式。同时，也可以用一个简单的二次多项式进行计算。
他说：“卡塔兰数被认为与二次方程有密切的联系。我们的创新在于，如果我们想解决更高次的方程，我们应该寻找卡塔兰数的更高类比。”
维尔德伯格教授的工作将卡塔兰数从一维扩展到多维数组，基于一个多边形使用不交叉线分割方式的数量。
他说：“我们发现了这些扩展，并展示了它们在逻辑上如何导致多项式方程的普遍解。”
他说：“这是对代数基本章节的重大修订。”
甚至五次（即五阶多项式）现在也有了解决方案，他说。
除了理论上的兴趣，他表示，这种方法在创建能够使用代数级数解决方程的计算机程序方面具有实际前景。
他说：“这是应用数学中许多核心计算，所以这是改进各种领域算法的机遇。”
Geode未被探索的面向
维尔德伯格教授表示，这种新颖的数字数组，他与鲁比内博士称之为“Geode”，也在进一步研究中具有巨大的潜力。
他说：“我们引入这一根本新的数字数组Geode，它扩展了经典卡塔兰数，并似乎在其中起着基础作用。”
他说：“我们预计，对这个新的Geode数组的研究将会提出许多新问题，并让组合学家忙碌多年。”
他说：“实际上，还有许多其他可能性。这只是个开始。”
