一位致力于解决高等数学复杂问题的教授成功解决了困扰数学家多年的两个重大问题。
一位致力于解开高等数学复杂性的罗格斯大学新布伦斯威克教授成功地解决了困扰数学家多年的两个重要问题。
这些持久问题的解决方案可能加深我们对自然结构和现象中存在的对称性，以及适用于化学、物理、工程、计算机科学和经济学等多个学科的各种随机过程的长期行为的理解。
冯杰普（Pham Tiep）是罗格斯艺术与科学学院数学系的乔舒亚·巴拉兹杰出数学教授，他成功证明了1955年由已故德裔美籍数学家理查德·布劳尔（Richard Brauer）提出的零高度猜想。该证明被广泛认为是有限群表示理论中最重要的挑战之一，并已在《数学年刊》的九月版中发表。
“猜想本质上是一种你认为蕴含某种真理的假设，”冯杰普解释道，他在其职业生涯的大部分时间里思考过布劳尔的问题，并在过去十年专注于此。“然而，猜想必须被证明。我希望在这个领域取得进展，但从未预料到我会解决这个问题。”
在某种程度上，冯杰普和他的团队遵循了布劳尔在20世纪50年代和60年代所详述的各种数学猜想中的挑战路线图。
“某些数学家具备超凡的智力，”冯杰普对布劳尔说道。“就像他们来自另一个星球或维度。他们能够感知其他人无法理解的隐藏现象。”
在另一个重要成就中，冯杰普处理了与德利涅-卢斯齐希理论相关的一个困难问题，这是表示理论的一个关键方面。这个成就与迹（trace）有关，迹是矩阵（数字的矩形数组）的一个关键特征。矩阵的迹由其对角元素的总和构成。相关研究结果在两篇论文中详细阐述，第一篇发表于《数学发明》，第235卷（2024年），第二篇发表于《年刊》，第200卷（2024年）。
“冯杰普在有限群方面的杰出研究和专业知识帮助罗格斯保持了作为该领域领先全球中心的声誉，”数学系杰出教授兼主任史蒂芬·米勒（Stephen Miller）表示。“20世纪数学领域的一项重大成就是对那些被错误称为‘简单’的有限群的分类，这一工作是由罗格斯主导，并发现了许多引人入胜的例子。通过他的卓越贡献，冯杰普提升了我们系的国际形象。”
根据冯杰普的说法，从这些解决方案中获得的见解预计将显著推进数学家对迹的知识。此外，这些发现可能为其他重要数学问题的突破铺平道路，包括佛罗里达大学数学家约翰·汤普森（John Thompson）和以色列数学家亚历山大·鲁博茨基（Alexander Lubotzky）提出的问题。
这两个发现推动了有限群表示理论的发展，这是代数的一部分。表示理论在包括数论和代数几何在内的各种数学领域中扮演着重要角色，同时与物理科学（包括粒子物理学）也密切相关。该理论利用被称为群的数学实体来探索分子中的对称性、促进信息加密以及创建纠错代码。
通过应用表示理论的原理，数学家可以将欧几里得几何中发现的抽象形状——一些极其复杂的形状——转换为数字数组。这是通过识别每个三维形状中的特定点，并将其映射到排列成行和列的数字来实现的。
此外，冯杰普强调，反向过程也必须是可行的：应该能够从数字序列重建原始形状。
与许多同事相比，冯杰普在物理科学领域经常依赖复杂设备进行研究，他仅仅使用一支笔和纸。他的努力已经导致出版了五本书和超过200篇在著名数学期刊上发表的论文。
他草拟数学公式或笔记，以概述逻辑序列。此外，他与同事们保持着持续的讨论——无论是面对面还是通过Zoom视频会议——共同仔细推导证明。
然而，冯杰普也提到，进展往往来自内省；想法常常在他最不期待的时候涌现。
“有时我可能和孩子们一起散步，与妻子一起园艺，或只是忙于厨房，”他分享道，并补充说：“我妻子说她总能看到我在思考数学时的神情。”
在追求第一个证明的过程中，冯杰普与来自德国凯瑟尔大学的古特尔·马勒（Gunter Malle）、来自西班牙巴伦西亚大学的加布里埃尔·纳瓦罗（Gabriel Navarro），以及一位曾在冯杰普手下学习的现任丹佛大学研究生阿曼达·谢弗·弗赖（Amanda Schaeffer Fry）合作。
在第二个重大发现中，冯杰普与南加州大学的罗伯特·古拉尔尼克（Robert Guralnick）和印第安纳大学的迈克尔·拉尔森（Michael Larsen）合作。在解决关于迹的问题的两篇论文的第一篇中，冯杰普与古拉尔尼克和拉尔森共同合作。冯杰普和拉尔森共同撰写了第二篇论文。
“冯杰普和他的合著者们实现的迹界限可以说是我们所能希望实现的最佳结果，”米勒指出。“这是一个发展良好的领域，因多种原因而具有重要性，使得进展具有挑战性——但其应用是广泛的。”
